国際基督教大学高等学校 入試対策
2022年度「国際基督教大学高等学校の数学」
攻略のための学習方法
特に、何かのジャンルを集中して演習するということだけで本問の得点に結びつくかどうか。『数学的発想法』、つまり物事を論理的に考えて、結論へ向け矛盾のない整合性の取れた論理の道筋をつけられるかどうかである。数学におけるスキル演習（問題演習）だけでは、不十分な設問設定になっている。
ＩＣＵの入試問題は、単純なスキル演習力を見る問題ではない。初見の問題で、『数学的論理』をいかなる思考的プロセスを経て確立された論理へと昇華させてゆくのかということを自身で見つけ、理論として確立できる『力』がどれ程完成されているかを見る設問である。
出題形式も初めて見る受験生も多いと考えられるが、決して慌てることなく落ち着いて設問内容を読んで、問題の解法の手掛かりが会話本文のどの部分に該当するのかを、よく考えて問題の本質を見抜くことである。
したがって、資料文の中で、各々の『考え方』や『概念』について言及している部分をよく読み込んで、正確に落ちついて問題を考えるようにすること、これが本問のような問題に不可欠な解法へのアプローチである。
このような設問に対して、如何なる事前準備が有効であるかを一緒に考えてみよう。
通常、数学の試験に関しては、大量に問題（計算問題や求積〈面積・体積〉問題）を解くことが最優先として捉えられている。しかし、その様な事前準備においては『正解』を出すことが最大にして唯一の目標となり、公式を暗記している受験生は該当する公式に数値を当てはめて答えを出すという、ある意味では非常に『効率的』なアプローチに終始してしまうだろう。
そのような手法だけでは本問において合格点を取るのは難しいのであろう。なぜならば、公式などの原理・原則を根本から理解せず結果だけを『機械的』に導き出すことに慣れ切ってしまっているからである。
大切なことは、自分の『頭』で考え抜く、ということである。
例えば、ある公式があったとしたら、公式の初めから自分で計算し最終的には公式の形まで自力で導き出せるかどうかである。暗記したものはいずれ忘れてしまう。忘れてしまうことをネガティブに捉えてはいけない。人間はある意味では『物事を忘れる存在』なのである。覚えたばかりの知識を忘れてしまったら、再度繰り返して演習を繰り返せばいのである。
ここで述べたいことは、知識（特に数学）を暗記するのではなく理解することに重点を置くべき、ということである。したがって、国際基督教大学高校の数学の入試問題に対応するには、数学的思考をしっかり身に付けようという姿勢で普段の学習を行うべきである。
そのためにも、問題を解く上で使用した公式を自分で導き出す学習を励行して欲しい。
さらに、数学で使用する言葉や数字にはすべて『意味』があるということである。その意味をしっかり理解して、自由自在に操れる術をマスターしなければならない。
例えば、１次関数における切片とはどういう意味があるのかを考える。単に、直線のグラフとｙ軸との交点のｙ座標である、としか覚えていないとしたら、その先の解法への広がりは限られたものになってしまう。切片であるｂ（ｙ＝ａｘ＋ｂのｂ）はｘ＝０のときの（ｘに０を代入する）ｙの値である、という理解ができているかどうか。
このように考えていくことが、やがて自身の理論的思考力を鍛えることになり、結果的に解法の幅を広げることができる。大事なことは、単に問題を解き正解を導くことだけで満足せずに、どうしてそのような式を考えて解放するのかということを根本的な原理から考えるようなクセを付けることである。
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2022年度「国際基督教大学高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
ICUの入試問題は一般の高校入試のような演習形式ではない。初めて見た受験生はどのように対策を立てればよいのか見当もつかないのではないだろうか。今年はFarey(ファレイ)数列に関する問題であったが、このような名称を聞いたこともない受験生も多いのではないだろうか。設問形式もファレイ数列に関する「資料文」を読ませ、その原理的理解を深めさせ高度な数学的思考力を確認する形式になっている。このような入試問題に対する対策としては、結論的には「数学的思考力」を高める訓練をしっかり行うことである。そのためには単純なスキル演習での解答の正誤だけを意識するのではなく、設問の原理的構成にまで踏み込んで(問題の徹底した掘り下げ)解法の糸口を探る手法を磨く必要がある。また、「資料文」の特徴は、初学習者を設問で扱う高度な原理まで段階を踏まえて導くプロセスになっている。したがって、「資料文」の中のどの部分が原理の説明で、どの部分が求められている演習の答えを導くヒントなのかを見極め、前者は深く読み込んで理解し尽くすということのないようにすることである。なぜならば、そのような「深い読み込み」は時間がかかり、結果後者にかける時間を失ってしまうからである。ICU対策は、とにかく過去問演習である。少なくとも8～10年分を2～3回は反復演習して欲しい。
【大問】資料文を読みながら各設問に答える
- 時間配分：70分
問１は、既約分数であるための条件選択問題である＜2分＞。
既約分数になるためには約分を行うことであるが、約分ができるためには分母・分子が1以外の公約数を持つということである。
問２は、既約分数にする問題である＜3分＞。
既約分数は分母・分子を公約数で割って求められる。公約数を手際よく求めなければならない。小数は一度分数にしたうえで約分を行う。
問３は、分母が4の既約分数を求める問題である＜3分＞。
本問でFarey(ファレイ)数列の規則性を見抜こう。
上のF1～F3までの数列を見ると、F2はF1の数列にさらに分母が2で分母・分子が互いに素(公約数が1以外に存在しない数)である既約分数が加わっている。以下同様である。つまりFnはFn—1の数列にさらに分母がｎの既約分数を加えているのである。この規則性に従ってＦ4を考える。
問４は、数列を求める問題である＜3分＞。
Farey(ファレイ)数列の規則性を理解すれば、F5はF4の数列に分母が5である既約分数を加える。したがって、加える分数は、
となり、F4の数列との大小を比較してF5の数列を確定する。
問５は、Farey(ファレイ)数列の規則性に関する問題である＜3分＞。
前問までの内容によりFarey(ファレイ)数列の規則性を十分理解すれば、適切な選択肢は確実に選択できる。つまり、Fnは「0以上1以下の既約分数のうち、分母が1以上ｎ以下である数」なのである。
問６は、F4における数列の個数を求める問題である＜3分＞。
F1は
であるので｜F1｜＝2である。F2はF1に分母が2の既約分数の個数(
だけであるので1個) ｜F2｜＝2＋1＝3となる。したがって、F4の個数は｜F3｜＝2＋1＋2＝5に分母が4の既約分数
の2個を加えて求めることができる。
問７は、｜F6｜及び｜F10｜を求める問題である＜3分＞。
Farey(ファレイ)数列の規則性が理解できれば、｜F6｜は｜F4｜に分母が5、6の既約分数のそれぞれの個数を加えて求めることができる。同様に、｜F10｜は｜F6｜に分母が7、8、9、10の既約分数のそれぞれの個数を加えて求めることができる。
問８は、｜Fｎ｜を求める方程式の問題である＜2分＞。
Farey(ファレイ)数列における｜F1｜～｜F10｜までの規則性を把握すれば、｜Fｎ｜＝ｆ(1)＋ｆ(2)＋ｆ(3)＋……＋ｆ(ｎ)である。
問９は、正誤問題である＜2分＞。
①は、分母が10である既約分数の個数である。
の4個であるのでｆ(10)＝4である。
③は、ｐは素数(2、3、5、7、11、……)であるという条件を考えると分母をｐとする既約分数に関してｆ(ｐ)＝ｐ−１となる。理由は、求める個数は分子が1以上ｐ未満の整数の個数であるからである。
問10は、ｆ(100)を求める問題である＜3分＞。
ｆ(100)は、0以上1以下の既約分数の中で分母が100である分数の個数である。したがって、
において分母と分子が互いに素(公約数を持たない＝約分できない)である個数を求める。
問11は、数列と直線の傾きに関する問題である＜2分＞。
となる条件は、それぞれの分数を直線の傾きと考えると、直線OHが直線OFと直線OGの間にあるということである。すなわち、(OHの傾き)＞(OFの傾き)と(OHの傾き)＜(OGの傾き)が正解である。
問12は、数列と直線の傾きに関する問題である＜3分＞。
資料文からTnの定義をしっかり理解し設問を考える。また、直線OF：ｙ＝
ｘと直線OG：
の間にあり格子点(5，4)を見つけること。
問13は、正誤問題である＜３分＞。
①～③で提示された分数を傾きとする直線のグラフを描き格子点との関係を考える。
問14は、面積を求める問題である＜3分＞。
(０，０)、(３，５)、(−２，7)の3点を頂点とする三角形の面積は、補助定理1にあてはめて求めることができる。
問15は、格子点及び面積を求める問題である＜3分＞。
ｘｙ座標平面において、多角形であるＡＢＣＤＥの内部の格子点及び周上の格子点の数を具体的に数え上げ、補助定理2を用いて多角形の面積を求める。
問16は、面積を求める問題である＜3分＞。
ｘｙ座標平面において、多角形であるＡＢＣＤＥＦの内部の格子点及び周上の格子点の数を具体的に数え上げ、補助定理2を用いて多角形の面積を求める。
問17は、面積を求める問題である＜4分＞。
補助定理１はＰ(a, b)、Ｑ(c, d)であるとき△ＯＰＱ＝(ad－bc)、補助定理２はＳ＝Ｉ＋Ｊ－１(ただし、Ｉは周を含まない多角形の内部の格子点の数、Ｊは周上の格子点の数)から、ad－bc=1を導く。
問18は、直線の傾きに関する問題である＜3分＞。
Ｐ(a, b)、Ｑ(c, d)、Ｒ(a＋c, b＋d)とするとき、OＰの傾き＜ＯＲの傾き＜OＱの傾きとなるので
となる。
問19は、数の性質に関する問題である＜4分＞。
Farey(ファレイ)数列に関する性質を確実に考えあてはめること。
問20は、数の性質に関する問題である＜5分＞。
aq－bp=x、dp－cq=y(x、yは正の整数)について、指示に従って連立方程式を解く。その過程で、主定理1及び主定理2とx、yは正の整数であるという条件を適切にあてはめること。
問21は、数の性質に関する問題である＜5分＞。
主定理3の証明であるが資料文を正確に読み込み適切な選択肢を選ぶ。主定理3とは、「Ｆｎ(n=1,2,3,…)を構成する既約分数のうち、分母の和がちょうどｎ∔１であるすべての隣り合う2つの既約分数
について、
を入れる。この操作によってできる新たな数の列こそがＦｎ∔１である。」であり、これこそがFarey(ファレイ)数列の特性である。
問22は、数列に現れる既約分数に関する問題である＜4分＞。
(１)は、主定理3より に次に現れる既約分数は
であり、その間にある既約分数は
となる。
(２)は、(１)と同様に考えF13及びF17よりF30におけると
の間に既約分数は現れないことに基づき考える。
攻略のポイント
特殊な出題形式であるため、初めて過去問を目にして戸惑いを感じる受験生も多いのではないだろうか。
資料文で「用語」の「定義」を説明したうえで、問題を解いてゆくという出題形式。未知なる原理に関して一定の説明を与えかつ演習例も示し、実際に受験生に問題演習や論証問題をさせるという出題形式である。このような設問形式の目的は、受験生の持つ論理的思考力や推理力を試す問題であることは言うまでもない。単純なスキル演習（問題演習）だけでは、本問のような設問には太刀打ちできない。
事前に行う対策としては、公式の証明を自ら行うことが有効であろう。さらに、ハイレベル問題集（具体的には『日日の演習 高校への数学』など）において、高度な思考力を求められるような問題演習を数多くこなすことである。