慶應義塾高等学校 入試対策
2021年度「慶應義塾高等学校の数学」
攻略のための学習方法
基本的原理や定理などをしっかり理解することである。つまり、公式や定理についてもできれば、一通り自分の力で証明しておくことを勧める。公式や定理はいうまでもなく『一つの考え方の結果』である。したがって、『結果』としての公式や定理を『道具』としてしか使うことができない場合、確かにスピーディーに正解を導くことは可能かもしれないが、それが本当の学力なのかを考えて欲しい。受験生（特に慶應義塾高校を志望する受験生）には、『公式や定理』を導くプロセスにおける『考え方』を理解し、安易に『公式や定理』を暗記するという学習姿勢に陥らないようにしてもらいたい。とにかく自分の頭で『考えること』、そして『考え抜くこと』である。さらに、極めて高いかつ正確な計算力が求められていることはすでに述べた。特に、連立方程式、因数分解において、文字の置き換えによる計算式の簡略化を図ることが正解への近道である場合がある。この解法手法については連立方程式、式の展開、因数分解の問題演習においてしっかり事前準備を行うことである。しかも、入試問題全体を通じ、因数分解や展開の考え方を用いなければ徒に解答時間が長引いてしまう設問が多い。そのためにも、最高レベルの計算問題（式の展開、因数分解、連立方程式、平方根）を日々演習する必要がある。場合によっては、高校数学Ⅰの問題集に掲載された式の展開および因数分解に関する問題（ただし、式の展開および因数分解の範囲は２次まで）を徹底的に行うことも必要になってくると思われる。
関数については１次関数、２次関数、そしてその融合問題は事前にしっかり練習を行っておくこと。放物線と直線の交点に関する問題、放物線上の異なる点を結んでできる図形に関する問題など、放物線と直線に関する問題は単に関数の分野に限らず、方程式、相似、回転体（立体）とその表面積・体積を問う求積問題など出題範囲は多岐にわたる。慶應義塾高校の入試問題は難問というよりも標準問題が多く出題される。しかも、その解法にあたってはオーソドックスな思考で十分正解可能な問題ばかりである。したがって、少しのミスも許されず手際よく解答できなければいけない。
また、論理的思考力を見る問題にも積極的に挑戦してもらいたい。高校数学では論証というジャンルであり、具体的には命題という内容である。一つの文章内容が反例（内容が間違っていることを示す例）もなく正しいかどうかを考える問題である。受験生の「自分の頭で考え」そして「最後まで考え抜く」姿勢が大事であることは明白である。受験生の側においても根本的な設問の原理や仕組みを掘り下げて考えるという「骨太で逞しい地頭」というものを自分のものにするために、標準以上の問題を自分の頭でとことん考え抜くという練習に全力を注いでもらいたい。
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2021年度「慶應義塾高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】は、小問集合問題＜8分＞。因数分解、2次方程式、連立方程式、資料の活用に関する小問である。
【大問２】は、小問集合問題＜10分＞。図形の角度、図形の論証、辺の長さを求める小問である。
【大問３】は、空間図形における面積・体積を求める問題＜8分＞。
【大問４】は、場合の数に関する問題＜8分＞。
【大問５】は、約束記号（新傾向）に関する問題＜9分＞。
【大問６】は、関数（直線と放物線）に関する問題＜8分＞。
【大問７】は、関数と図形に関する問題＜9分＞。
【大問１】小問集合問題である
- 時間配分：8分
（１）因数分解の問題＜2分＞。a2－2a＝Aとおいて、Aについて因数分解するのが定石である。
（２）2次方程式の問題＜2分＞。本問をまともにやると正解は時間内では無理である。2021−ｘ＝Aとおくと、2022−ｘ＝A＋１、2023−ｘ＝A＋２となることを利用して与式を変形させる。
（３）連立方程式の問題＜2分＞。1/(x-√(2 ))＝Ａ、 5/(x＋√(2 ) y)=Ｂ とおき、Ａ・Ｂについての連立方程式を解いてたうえで、ｘ、ｙを求める。
（４）資料の活用に関する問題＜２分＞。資料の活用における用語の定義をしっかり理解しよう。中央値、階級値などの定義は重要である。
【大問２】小問集合問題である
- 時間配分：10分
（１）平面図形における角度を求める問題＜2分＞。点Ｅを通り辺ＡＤ、辺ＢＣに平行な直線を引きその上に点Ｇをおく。2組の平行線より錯角が等しくなることが分かる。また点Ｅが辺ＡＢの中点であることより導き出される事柄を利用すると、△ＡＥＦ≡△ＤＦＣとなる。
（２）平面図形における論証に関する問題＜5分＞。題意から、ＡＢ＝ka＋(a＋1)、ＢＣ＝(a＋１)＋a、ＣＡ＝a＋kaとなり、△ＡＢＣにおいて三平方の定理を利用する。
（３）辺の長さを求める問題＜3分＞。事前に演習したことのある受験生の多いのではないだろうか。二等辺三角形の特性を生かし、かつ∠ＡＢＣの角の二等分線を引いたうえで相似の三角形を見つけ出し、対応する辺の比例式より求めたい辺の長さを出す。最終的には、ｘについての2次方程式を解くことになるが、解(2個)がどちらも題意に適するか否かを検証しなければならない。
【大問３】空間図形に関する問題である
- 時間配分：8分
（１）立体の展開図から表面積を求める問題＜3分＞。与えられた展開図の中の三角形・台形において直角三角形を作り三平方の定理をあてはめ、それぞれの高さを求めて三角形・台形の面積を求める公式より表面積を求める。
（２）立体の体積を求める問題＜5分＞。展開図を組み立てて立体のイメージをつかむ。同じ立体を対辺どうしがつながるように上下に合体させると三角柱ができる。これは求める体積の2倍の体積の立体である。
【大問４】場合の数に関する応用問題である
- 時間配分：8分
（１）場合の数を求める問題＜3分＞。題意より、c＝８のとき、a、bは７以下の自然数になり、dは9以上20以下の自然数となる。これらのことより、求められている場合の数を求める。a、bの大小関係に留意しよう。
（２）kの値を求める問題＜5分＞。ｃ＝ｋとしたときの残りの3つの数の選び方が455通りであったときのｋの値を求める問題である。このとき、a、bは１からｋ−１の自然数になり、dはｋ＋１から20以下の自然数となる。考え方は（１）と同様である。
【大問５】約束記号に関する新傾向の問題
- 時間配分：9分
提示された約束記号の定義は、
『2つの実数ｘ、ｙに対して、計算記号Ｔ(ｘ、ｙ)は、(x＋y)/(1-x×y) の値を求めるものとする』
（１）約束記号に従った式の値を求める問題である＜4分＞。約束記号の計算ルールに従ってｘ、ｙの数値を代入し式の値を求める。計算ミスなどのケアレスミスをしないように。
（２）約束記号に従った式の値を求める問題である＜5分＞。Ｔ(a、f)＝１より、(a＋f)/(1-a×f) ＝１が成立する。これを変形してゆくと(１＋a)(１＋f)＝２となる。他も同様に変形し与式にあてはめると求めたい式の値が得られる。
【大問６】関数（直線と放物線）に関する問題
- 時間配分：8分
（１）交点の座標を求める問題である＜3分＞。点Ａ、Ｂ、Ｃよりそれぞれｘ軸上に垂線を引き、3つの直角三角形を考える。また、条件より∠ＡＯＤ＝30°、∠ＢＯＤ＝45°、∠ＣＯＤ＝60°を利用する。例えば、∠ＢＯＤ＝45°より△ＢＯＦは直角二等辺三角形となる。その他の三角形においても、角度が30°、60°、90°の三角形になるので辺の比も判明する。
（２）三角形の面積を求める問題である＜5分＞。△ＢＯＣ＝１のとき、△ＡＯＢの面積を求める。初めに、△ＢＯＣの面積を求める方法を考える。
【大問７】関数と図形に関する問題
- 時間配分：9分
（１）立体の体積を求める問題である＜2分＞。△ＡＢＣは∠ＡＢＣ＝90°の直角三角形であることに初めに注目すること。立体図形の中に平面図形の原理である三平方の定理を自在に当てはめられることができるようにしておくこと。
（２）時間推移に伴い変化する距離のグラフを求める問題である＜3分＞。点Ｑの速さ＝２㎝／秒、点Ｒの速さ＝２㎝／秒である。よって、点Ｑは2秒後に点Ｂに、点Ｒは1秒後に点Ｃに到着することを手掛かりに考えを進める。
（３）条件に適合する時間とそのときの体積を求める問題である＜4分＞。△ＰＱＲが△ＡＢＣと平行になるのはＯＰ＝ＯＱ＝ＯＲのときであり、これは（２）のグラフ上ではどの点かを考える。
攻略のポイント
全体的には、極めて標準的なレベルの出題である。ただし、問いかけの切り口が極めて特殊であったりする問題の割合が高いので、様々な問題を事前に演習しておかなければ解法への一歩が踏み出せないであろう。また、試験時間との関係で考えると見直しをする時間的余裕はない。見直しをできないことを考えると、正確な計算力と正解を得るための解法に対する見通しの良し悪しが重要なカギとなる。平面図形における各種定理（三平方の定理、中心角と円周角、相似と面積・体積、合同など）をしっかり自分のものにすることである。それらの定理は必ず立体図形にも応用できる。また、関数（１次・２次の融合問題）も難度の高い問題に果敢に挑戦し、安易に解説を見ることなく自分の頭で考え抜くことが合格への王道である。