城北高等学校 入試対策
2021年度「城北高等学校の数学」
攻略のための学習方法
特別な「ひらめき」や「テクニック」を要するような類の問題はない。事前の準備としては、基本的な問題集を徹底的に反復演習することである。
計算問題はしっかりやっておく必要がある。
文字式計算（指数法則）、乗法展開の公式に基づく式の展開、またその逆の因数分解、方程式（２次方程式における解の公式）、平方根（有理化、無理数の小数部分・整数部分）などの計算分野は基礎的事項をしっかり習得し、大量に問題演習を行うことで知識がしっかりと自分の解法への道具として強力な武器になり、やがて自信へとつながっていくことは間違いない。
計算問題で、受験生の多くが陥る落とし穴は、符号（特にマイナス）のつけ間違い、単純な計算間違いなどのケアレスミスである。ケアレスミスをどのようにすれば克服できるのか、受験生であれば誰もが知りたいことであろう。
結論から言えば、即効性のある有力な方法はない。日頃の勉強において、自身が十分気を付けてケアレスミス撲滅を意識していく以外にはないであろう。
出題されている計算問題は基本問題である。特別な知識やテクニックはいらない。着実に、そして冷静に与えられた計算問題に取り組むことである。
普段の学習で培われた「数学力・計算力」は、単に計算問題だけに留まるものではなく、それ以外の設問においても確実に正解を導く上での強力な武器となるいことは間違いない。
計算以外の分野では、関数である。
放物線と直線をからめた問題は、問題を作成する上で様々な切り口が可能である。２次方程式の解、相似を用いた面積、平面座標上の線対称移動・点対称移動に伴う直線の式などは、基礎から応用までしっかり演習を行っておいて欲しい。
また関数に関連して異色なところでは、座標平面に点Ｐが存在しサイコロを振って出た目にしたがって点Ｐが左右上下に、ある条件にしたがって移動するという設定の下、特定の図形ができる確率や任意の回数後に点Ｐが辿ってできた図形の求積問題など、作問の幅は無限に広がってゆく。
このような問題は、当然ながら初見である場合が多いが、解法のために使用する原理や法則は、受験生にとっては既知のものである。そうでなければ、そのような問題は解けないのである。
その場合（新傾向の初見の問題に直面した場合）に、受験生にとって大切なことは自分が知っている知識を適切にかつ迅速に取り出せて、問題にあてはめられるかどうかである。そのためには、条件反射的に問題解法への方針を立てたならば間髪を入れずに手が動き出すことである。
そのような状況に至るには、何をどのように行えばいいのか。繰り返しになるが、ひたすら「良問」を数多く解きまくることに尽きる。しかも、そのような作業の中で解法への方針の立て方、目のつけどころなどを学ばなければならない。
その他にも、押さえておきたいジャンルとしては、平面図形、立体図形そして場合の数・確率である。城北高校の問題は、それほど難解問題は出題されない。初見の問題もないはずである。典型的な標準問題を繰り返し演習することである。
平面図形においては図形の面積に絡んだ問題、三角形の内部・外部に形成される図形に相似や合同の考え方をあてはめて考える問題についても、問題集（標準タイプで十分）等で色々なバージョンの問題を解いてみることである。
立体図形についても、設問で扱われている立体図形を空間にイメージし、自在に回転されるなどの作業が違和感なく行えるかどうかが、正解へいかに速く正確に至るかのカギである。平面図形の面積問題でもそうであるが、立体図形においてもある体積を求めるような場合に、立体図形の切り取りや図形の移動などのアイデアを考えると、解法へ向けた見通しが意外と立てやすくなる場合もある。
新傾向の問題（規則性や論証に絡んだ問題）についても、そのような傾向の問題を集めた専門の問題集の演習を行っておくことも必要であろう。いずれにしても、基礎から標準レベルの問題演習を日々6～8題行ってもらいたい。
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2021年度「城北高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】小問題集合設問＜7分＞。（１）因数分解（２）式の値（３）数の性質（４）連立方程式。
【大問２】小問題集合設問＜8分＞。（１）図形（求積）（２）図形（辺の長さ）（３）図形（体積）。
【大問３】さいころに関する確率＜12分＞。（１）（２）（３）さいころをふって出た目とｘｙ座標平面上の直線との関係で確率を求める。今後、出題頻度は上がると思われる。
【大問４】二等辺三角形に内接する円に関する問題＜16分＞。（１）相似を用いた長さの比（２）三平方の定理を用いたｋの値（３）相似を用いた辺の長さ（４）内接円の半径。
【大問５】2次関数空間図形＜17分＞。（１）2次関数の決定（２）辺の長さ。
【大問１】小問題集合設問
- 時間配分：7分
（１）因数分解＜1分＞。
ｘ－５＝Aとおいて、Aについて展開した後に因数分解を行い、Aをｘ－５に戻すという考え方。ケアレスミスをしないように注意すること。
（２）式の値＜1分＞。
実際に解の公式を用いて2次方程式の解を求める手法か、またはaがｘ２－ｘ－１＝０の解であるのでaを代入し、a２－a－１＝０からa２＝a＋１として次数を落としていく手法にも慣れて欲しい。
（３）数の性質＜2分＞。
実際に(√10x＋√21y)２を展開し、条件より√210xy が自然数になればよいことがわかる。
（４）連立方程式＜3分＞。
与式は分母がｘ、ｙの文字式になっているので、1/(x-y)＝A、1/(x＋y)＝B としてA、Bについての連立方程式を解き始めるのが本問の定石である。
【大問２】小問題集合設問
- 時間配分：8分
（１）面積比を求める問題＜2分＞。
△AGD∽△EGBであることより、必要な各辺の比を求め面積比を求める。何度か演習した問題であろうから、見た瞬間に解法の方針を立てること。
（２）弧の長さの比を求める問題＜2分＞。
円周角、弧、弦については比例関係が成り立ち、かつ△EGFが二等辺三角形になることより正解を求めよう。
（３）立体図形における体積比を求める問題＜4分＞。
三角錐O－ABCにおいて、点Oおよび点Pから平面ABCへ垂線を下ろす。また、点Gは△ABCの重心になることと、平面図形における定理（中点連結定理・相似）を駆使して求める体積比を導き出そう。
【大問３】さいころを用いた確率の問題
- 時間配分：12分
（１）さいころの目に関する確率問題＜3分＞。
大小のさいころを同時に1回投げて出た大きいさいころの目をa、小さいさいころの目をbとしたとき、b>aとなる確率を求める。確率の基本問題である。全体の事象は6×6＝36通り。b>aとなる場合を具体的に書き出してみること。
（２）特定条件における確率問題＜4分＞。
a、bを用いてy=b/a ｘという1次関数を考え、C(3,3)を通る確率を求める問題である。Cのｘ座標、ｙ座標の数字を1次関数の式に代入しaとbの関係を求めることが解法への第1歩である。
（３）特定条件における確率問題＜5分＞。
前問（２）のy=b/a ｘがA(3,2)をB(2,3)結んだ直線を通るときの確率の問題である。1次関数がAを通る場合及びBを通る場合を個別に考えて求める確率を導き出す。
【大問４】二等辺三角形に内接する2つの三角形に関する問題
- 時間配分：16分
（１）を求める問題＜3分＞。
△ABCは二等辺三角形であること、点Mが辺BCの中点であることを手掛かりにアプローチすること。
（２）kの値を求める問題＜4分＞。
AP＝３kとした場合におけるkの値を求める問題である。（１）よりAP：AM＝３：４が求められたので、AM=４kとなる。また、△APOは直角三角形であるので三平方の定理を当てはめる、ｋについての２次方程式を解く。
（３）辺の長さの比を求める問題＜4分＞。
O′はAM上にあることを初めに理解すること。次に△AQO’∽△APOであることよりAQ：QO’=AP：POになることに着目しよう。
（４）内接円の半径を求める問題＜５分＞。
△ABCに内接するもう一つの小さな円の半径を求める問題。小円（中心O’）と大円（中心O）のそれぞれの中心より線分DEに垂線を下ろすと、大小の正方形が２つできることを参考に解答しよう。
【大問５】関数に関する問題
- 時間配分：17分
（１）2次関数の式を求める問題＜6分＞。
上に開いた放物線と下に開いた放物線について、ｘ軸の上下に正方形を2つ描きそれぞれの放物線が正方形のある頂点を通るという条件より2つの2次関数の式を求める。
（２）特定条件の辺の長さを求める問題＜11分＞。
前問の平面座標上に描かれた正方形を切り取り、立方体の対面（平行な位置関係）にそれぞれ張り付ける。問題にある図からも明らかなように、CQ＝DRとなる。また、点Pはy=x2上の点なのでP(t,t2)とおき、Q、R、Sの座標をtを用いて表わし、２つの正方形上で確定する平面図形上の原理(二等辺三角形の特性など)を当てはめながら本問で要求されている辺の長さを求める。平面から立体へイメージを明確にして幾何における定理を当てはめる。
攻略のポイント
全体的には基本問題から標準・応用まで、バランスのとれた出題になっている。事前の準備としては、標準的な問題集を使用し何度も繰り返して演習を行うこと。特に、計算、関数、平面図形、空間、確率などは難易度の高い問題演習を確実に行っておくこと。全く手も足も出ないという設問がないので、確実に７５％の得点は欲しい。平面図形・立体図形に関しては、基本的な原理（三平方の定理、中点連結定理、相似、合同など）の仕組みをしっかり理解し問題への当てはめを理解しておくように。例年、平面から立体への図形の変換問題が出題される傾向があるため、そのような分野の問題演習は絶対に欠かせないので25～30題の同様問題演習を必ず行ってほしい。
頻出分野である『関数（放物線と直線）』、『平面及び空間図形』は徹底して演習すること。この２つの分野の融合問題のポイントもしっかり押さえておくことも大事である。
関数は必須問題である。また、新しい傾向問題として、目を通し演習して欲しい分野に、『規則性の問題』と『数の性質』がある。類似問題を４０～５０題を事前に解いてほしい。