東工大附属科学技術高等学校 入試対策
2020年度「東工大附属科学技術高等学校の数学」
攻略のための学習方法
東工大附属高校の数学を攻略するための学習法は下記の３点になる。
【図形問題の完成】
入試問題の内容を通してみると、平面図形、空間図形の計量、関数と図形の融合問題がかなり多く出題されている。三平方の定理、正三角形、二等辺三角形、特殊な三角形の比、相似、合同、円の性質など、平面図形の全ての知識を理解して解法として利用できるように学習しておく必要がある。とりわけ、特殊な三角形の比は最重要である。教材については、単元ごとにまとめられた教材もあるが、市販のものだけでは対応できない場合もある。もし不安があれば、家庭教師に相談し、自分に合った教材を推薦してもらうといいだろう。
【苦手分野の克服】
高校入試では、単元や分野は、幅広くまんべんなく出題されていることが多い。方程式の応用問題では、食塩の問題、速さの問題、割合の問題など、いろいろな文章題で式を立てることが求められる。また、確率や場合の数の問題でも、さいころ、カード、組み合わせなど、さまざまな文章題がある。さらに、整数問題や規則性を問われる新傾向の問題、平面図形、空間図形、関数などいろいろな分野が出題される。苦手分野を作らないことが必要となる。受験勉強とはできない分野をできるように学習していくだけである。
【思考力と整理力の育成】
東工大附属高校の数学では、一見複雑そうに見える問題文や設問内容でも、落ち着いて基礎事項を整理することで正答できるものが多い。ここで言う思考力とは、問題文を理解して整理して数学の解法に落とし込み解答する力である。日頃の学習として、問題分に文章が多いものを積極的に取り組んでいくと良いだろう。同時に。与えられた問題の中の条件を整理する力がここで言う整理力であり、とても重要である。グラフや図形の問題には実際に与えられた数字を記入したり、方程式の文章問題を表にしたり、樹形図をもれなく書き出す演習を日頃からしていこう。複雑な場合分けや推測して解答するような問題、深い思考力を問うような難問、奇問は見受けられないので、基礎的な解法の組み合わせで正答できるように演習しよう。
以上、上記に挙げたことを意識して取り組む必要があるが、最も重要なことは、受験までのスケジューリングになるだろう。公立中学や私立中学によりカリキュラムが違い、中学３年生の３学期で三平方の定理を初めて見る受験生などもいるだろう。しかし、受験に有利になるにはできるだけ先取りして基礎から応用、入試問題、仕上げと進めていくことが望ましい。先取り学習や受験のスケジューリングには家庭教師が最適である。少しでも有利になるように今すぐ受験に取り掛かろう。
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2020年度「東工大附属科学技術高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
試験時間は７０分で得点は１５０点満点だ。大問数は６問で単元ごとに整理されている。
設問内で誘導されていて、問題文を読解して数学的に処理する問題が特徴的である。平面図形と空間図形の計量問題が多い。一見複雑そうな文章問題でも落ち着いて整理すれば基礎力で解決できる問題もあるのでできる問題から取り掛かろう。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：15分
（１）与式を簡単にしてから代入する。
（２）先に全て展開する方法とX-２＝Aとおく方法と両方できるように。
（３）比例式では内側積＝外側積。
（４）反比例⇔ＸＹ＝比例定数。
（５）平行⇔傾きが等しい。
（６）枚数と重さの合計それぞれで方程式を作る。
（７）中心角は弧の長さに比例する。
（８）錯角や四角形の内角の和、対頂角で正解できる。
（９）底面が△ＢＣＤ、高さがＥＨの三角柱である。
（１０）24の約数を求めて24から引き算する。
【大問２】平面図形
- 時間配分：10分
（１） 求める面積は、ＡＣを直径とする円となる。∠ＡＥＣ＝90°である。
（２） △ＡＦＣが二等辺三角形となるのでＡＦ＝ＣＦ＝2－ＤＦ。△ＤＦＣで三平方の定理を用いる。
（３） ＥＦ：ＣＦ＝△ＤＥＦ：△ＤＦＣ＝３：５より△ＤＥＦの面積は求まる。
【大問３】方程式の応用
- 時間配分：8分
（１）p=1のとき、２回目の操作で得られた解はｘ＝４だから、a=4として①の方程式を解く。
（２）操作で得られる解として、2/3、－４、３、2/3、－４、３、・・・・となる。よって、2020÷3＝673あまり1よりｘ＝2/3
（３）（２）より、１回目から１０回目までの積は-1024/3となる。
【大問４】平面図形
- 時間配分：8分
（１）出発してからｘ秒後の△ＡＰＱの面積をｘで表す。一辺がaの正三角形の面積は√３×a×a/4を記憶しておこう。
（２）（１）の結果より０＜ｘ≦３で４√３になることが1回ある。３≦ｘ＜６のときＰはＢＣ上、ＱはＣＥ上で△ＡＰＱの面積をｘで表す。
（３）出発してから３秒ごとに△ＡＰＱは０→９√３→０→２７√３→０→9√３→０と変化する。７回目に△ＡＰＱの面積が６√３になるのは、点ＰがＧＨ上にあるときになる。
【大問５】空間図形－八面体
- 時間配分：13分
（１）正四角錐ＯＢＣＨＧ＝三角錐ＯＢＣＧ＋三角錐ＯＣＨＧであり、三角錐ＯＢＣＧ＝三角錐ＯＣＨＧだから、 正四角錐ＯＢＣＨＧ＝２×三角錐ＯＢＣＧである。 また、三角錐ＯＢＣＧ＝正四面体ＯＡＢＧである。よって、正四角錐ＯＢＣＨＧ＝２×正四面体ＯＡＢＧ。
（２）立体ＧＨＩ－ＡＢＣＤＥＦは、正四角錐ＯＢＣＨＧと合同な３つの正四角錐＋正四面体ＯＡＢＧと合同な４つの正四面体になる。
（３）辺ＤＥを含む側の立体＝正四角錐ＯＢＣＨＧと合同な正四角錐＋正四面体ＯＡＢＧと合同な正四面体である。
【大問６】二次関数と直線
- 時間配分：10分
（１）(-1/2+5/2)×a＝１で素早く計算しよう。
（２）（１）より直線ＡＢはｙ＝x+5/8である。直線ＡＢと直線ＯＣの交点をＥとすると、ＡＢ⊥ＯＣ、ＯＥ＝ＣＥを利用して点Ｅを求めて点Ｃを求める。
（３）等積変形を利用する。△ＡＢＣ＝△ＤＢＣよりＡＤ//ＣＢとなり、直線ＡＤはｙ＝4ｘ/5+21/40である。点Ｄは２直線ｙ＝5ｘ/4とｙ＝4ｘ/5+21/40の交点である。
攻略のポイント
試験内容は、独特な設問や文章題になっているが、落ち着いて整理すれば学習した解法で解けるものが多い。迷わずに冷静に問題文を整理して前の設問を利用して解答していこう。平面図形や空間図形の計量、関数と図形の融合問題は確実に正答して、他の問題でどれだけ正答できるか？が合格点への道となる。まずは、基礎的な解法の組み合わせで正答できる設問を確実に正答して、次に、複雑な場合分けや推測して解答するような問題、深い思考力を問うような設問に時間が割けるように解いていこう。